多给一种视角

新北区新华实验小学  姚建法

前不久听了两节《百分数的意义》，分别是新北区龙虎塘中心小学荆亚琴老师和市名师工作室领衔人陈美华执教，收获很多。两人执教的基点不同、研究的价值倾向不同，但都给示范了两节高质量的数学概念课，不仅给学生多了一种分析数据观察世界的视角，也给我们老师多了一种甚至多种教学与研课的视角，提升教育教学水平。

一、高观点下的引用与思考。史宁中教授指出：数学的本质是在认识数的同时，认识数量之间的关系（多与少），进一步抽象，是“数及数之间的关系（大与小）”。而我们今天所研讨的数概念课正是数量与数量之间的关联或者说是数与数之间的关系：和差关系与倍比关系。

所以，百分数的意义需要有这么一个整体的体系架构：关系建立的教与学，并从中分化出倍比关系，进而进一步将分数“特殊化”，教学“百分数”。

二、尝试从教学的四种思考方向来分享这两节课。

1、向前触伸。

基于学生的经验、文本的前在，两节课中学生都经历了“生活现象---数学解释---生活应用”的横向数学化过程。著名荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：数学可以当成是一种“活动”，“数学化”是实施这个活动的方式，也是这个活动的目的。“数学化”可以分为两类，第一类是“横向数学化”，注重把生活世界引向数学的符号世界，是从现实情境引向数学体系，建立联系。第二类是“纵向数学化”，注重在数学符号的世界里，从数学体系内部实现抽象符号的生成、变换、重塑与应用。

在现实的数学教学过程中，我们的课堂并不缺少“横向数学化”的设计与历程，特别是创设丰富的生活现实情境、剥离抽象出数学学习内容，实施从生活到数学的跨越。只是我们更需思考的是，这“横向数学化”的过程是否科学合理、符合学情？进而影响学生正确感知学习内容的效度又当如何？

比如《荆课》出示例题“一个球队的三场比赛”，学生可以“只比投中次数赛得分、只比投篮次数赛机会、联系两者赛比率”（可惜单独比的方式在交流互动中缺失了），在经历了百分数的意义后又回到生活的应用，例如计算中的正确率错误率之类。而在陈特的课中，一开始的“班级男女生人数情况”就实施了两个数量的比较关系：和差与倍比。用百分数的意义解释收集到的生活中的百分数更是实现了数学与生活的链接。

2、向后渗透。

《数学课程标准（2011年版）》明确指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。”^[2]从后续发展来看，每一节课的教学都是为了满足学生后续自主学习的需要，由此及彼，积累更加丰富的经验与储备。适时的向后衔接延伸，有利于学生适当前置地“看到”知识的生长发展、方法的迁移应用、结构的渗透蕴伏，把孤立的知识点联结成知识网，更好地形成知识体系与方法体系的整体“预构”。

如《荆课》中设计了一个口算的环节，逐步抽象出比较时的标准量，同桌说说自己完成的百分数情况，培养数学的眼光分析活动，从情感体验上后延。《陈课》引导学生在课尾处沉思：今天的学习有哪些新的收获？特别是追问“怎么来研究的”给学生以“结构”，引导学生从一节课向一类课进行思考。

3、向内深化。

这便是前面所提及的第二类“纵向数学化”。 对于新知的认知，往往需要经历从外部的基本认识逐步向内部的深化认知的教学过程，最终实现整体认知，走向综合应用。这样，“既自然地顺应了学生的认知规律，又将学生的思维引入了深层次的思考，将学生浅而不全的自然结构转化为准确完整的知识结构，把学生看似随意、表面、感性的知识转变为深层、发展、理性的数学素养。”

《陈课》中陈特的一系列话语就是极好的纵向数学化的例证：“大家从外形上认识了百分数，到底怎样的数是百分数呢？---像这样表示谁是谁的百分之几的数，可以用百分数来表示---我们是怎样来分析的？都是谁是谁的百分之几？---你能也像这样来分析自己收集的百分数的含义吗？---议一议，什么是百分数？---百分数和谁有密切的联系？”引导学生深入地对两个数量之间的倍比关系进行了探寻与内化，实现了对概念的本质理解与丰富体验。

4、向外拓展。

百分数的概念本身，有着深刻的内涵，也具备丰富的外延，部分量与部分量之间、部分量与总量之间有着相应的规律，体现数学的张力，加宽学生的认知面。

比如《荆课》中涂色部分的百分数+非涂色部分的百分数=100%，课的最后让学生用百分数描绘心情愉悦度；再如《陈课》课尾“选择合适的数填入三句话中”的活动，不仅限于课时的“节点性理解”，更是打破了教材中所呈现的百分数的分子都是整数的局限，也拓宽了学生的视野，感受了百分数的宽广应用。

只是，站在分数的立场、站在倍比关系的体系下，是否还可以拓展至十分数、千分数、万分数呢？毕竟，这在生活中也有应用体现，特别是与百分数一样，具有类似的特征。

另外有两点探讨：小组合作交流前的独思时间的舍得、百分数的需求体验。

两节课，都对百分数的概念的节点性理解，走向了过程性，或者说是系统关联性的结构性把握，对于教材的研读与应用作出了很好的诠释与研究的借鉴。