我在给学生出练习题时出了一道计算题：612÷2÷4，出题时由于自己没仔细算一下，导致这道题的结果有余数。大部分学生是按从左到右的顺序计算的：612÷2÷4=306÷4=76……2，但有极少数学生是这样计算的： 612÷2÷4=612÷（2×4）=612÷8=76……4，也就是说，出现了两个不同的结果，到底哪种算法是正确的？课堂上的我竟然一时没能反应过来，只能跟学生说等老师课后跟其他老师商量了再来回复大家。

　　下课回到办公室我就开始了思考，首先要肯定的是两种算法都没问题，一个数连续除以两个数等于用第一个数除以后两个数的积，这是数学上再平常不过的一个算理，但是到了有余数的情况下为什么就不适用了呢？

　　经过长时间的思考，我得出了下面的想法：上面两种算法，从计算顺序或者说意义上都是有道理的，从有余数除法的计算规则和商不变性质上来看，两个结果虽然外在表现形式不一样，但结果所表示的数的大小还是一样的。两种算法的商是76，都不表示计算的最终精确结果，也不能只看两个余数的大小不一样，就认为两个算式的商也不一样。要用变化的、联系的眼光来审视每个余数的实际意义，要把“余数”这个数值大小的实际意义放在与此相关的被除数和除数中来解释。比如，对于306÷4=76……2这个算式和结果我们可以这样解释：把306本书平均分给4个同学，每人分得76本，还剩下2本，这2本再分下去，这4个同学，每人还能分0.5本，而612÷8=76……4可以这样解释：把612本书平均分给8个同学，每人分得76本，还剩下4本，这4本再分下去，这8个同学，每人也是还能再分0.5本，也就是说把612本书平均发给8个同学与把306本书平均分给4个同学，每人分得的结果是一样的，都是76本零0.5本。

　　后来，当我把这想法跟学生交流时，大部分学生都表示能理解，也有少部分学生理解不了。但是，有学生想到了用商不变的性质来解释：306÷4和612÷8对比是被除数和除数都扩大了两倍，商不变，但是余数也要跟着被除数和除数扩大两倍。我立即肯定了这位学生的想法，同时也指出：余数从数值上看是扩大了两倍，但放在具体情境中它所表示的意义还是相同的，余数不能孤立地去看，而要和被除数和除数结合起来去解释。