第一周：用形符表征有余除法的三个层次

    对于平均分，二年级上学期学生已有充分的长时接触，并形成相应的定势：平均分要正好分完，不能有剩余。这一点对于我们许多成人来讲也是如此。所以，二年级下册的开学第一课“有余数的除法”就也要解决这个问题，让学生充分地感受或明确数学的语言：平均分有两类，一是完全平均分，二是不完全平均分（即有余平均分）。

    教学模块一：唤醒学习经验

    出示例题，10支铅笔平均分给小朋友，可以怎样平均分？你能用算式表示平均分的过程与结果吗？

    交流得出：10÷2=5、10÷5=2、10÷1=10、10÷10=1

    教学模块二：数学思维破势，并重新立序

    追问：为什么不平均每人分三支？

    学生拿出小棒操作（形符表征第一层次：操作表征），并尝试也用算式表示分的过程与结果（形符表征第三层次：符号表征）

    交流小结：每人分三支后还剩1支，算式10÷3=？表示不了，不会。

    揭示1：在数学上，像这样每份一样多后还有剩余的情况可以用这样的算式来表示：10÷3=3……1。（明确各部分名称，结合操作过程，突出理解“……”与余数“1”的含义）

    引问：这种分法你们认为是不是平均分呢？

    学生异口同声：不是。

    师：事实上，这种分法也是让每份同样多，只是还是剩余，也是平均分。

    学生惊诧：啊————

    揭示2：像10÷2=5、10÷5=2、10÷1=10、10÷10=1这样没有剩余的平均分，数学上也叫完全平均分，那么像10÷3=3……1这样的分法呢，叫——

    学生：不完全平均分。

    明确：是的，也可以叫有余平均分。

    回顾内化：我们是怎样不完全平均分的？你能画图表示过程（形符表征第二层次：图象表征）并再写一写算式（形符表征第三层次：符号表征）吗？完成后说给同桌听一听。

    教学模块三：丰富过程，重新“定势”

    思考：像这样的有余平均分的情况还有吗？你能先用小棒摆一摆（形符表征第一层次：操作表征）、再在本子上画一画（形符表征第二层次：图像表征）、并写一写算式（形符表征第三层次：符号表征）吗？看看你能发现几种情况。

    学生先独立进行、再小组内交流，最后集体分享。

    观察与发现：观察黑板上的这些有余平均分的算式，尤其是余数和除数，你有什么发现？

    交流归纳：余数都比除数小。

    ……

    数学学习是一个不断“立——破——立”的螺旋上升与完善建构的过程，数学学习的本身又具有阶段发展性和过程成长性。基于二年级学生的认知规律和心智水平，引导学生先通过具身操作小棒的动作表征充分体验不完全平均分的知识发生过程，再尝试画图表示的图像表征加深对不完全平均分的印象与感知，最后用算式进行符号表征，静态理解算式各部分的动态意义。于是，借力形符表征有余除法的三个层次，能充分地积累数学活动经验和体悟数学的道理，有效地促进数学思考与思维提升。